Dạng 1: Xác định các thuộc tính của Parabol

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1

Các bài toán về parabol thường qui về việcxác định các yếu tố của parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol.


I. Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của Parabol (P) về dạng chính tắc (P): y$^2$ = ±2px hoặc (P): x$^2$ = ±2py.
Bước 2: Xét các khả năng:
Dạng 1: Parabol (P): y$^2$ = 2px (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
cac-thuoc-tinh-cua-parabol-1-png.1308

  • Đỉnh O(0. 0),
  • Tiêu điểm F ($\frac{p}{2}$, 0),
  • Đường chuẩn (d): x = -$\frac{p}{2}$,
  • Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên phải Ox.
Dạng 2: Parabol (P): y$^2$ = -2px (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
cac-thuoc-tinh-cua-parabol-2-png.1309

  • Đỉnh O(0. 0),
  • Tiêu điểm F (-$\frac{p}{2}$, 0),
  • Đường chuẩn (d): x = $\frac{p}{2}$,
  • Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên trái Ox.
Dạng 3: Parabol (P): x$^2$ = 2py (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
cac-thuoc-tinh-cua-parabol-3-png.1310

  • Đỉnh O(0. 0),
  • Tiêu điểm F (0, $\frac{p}{2}$),
  • Đường chuẩn (d): y = -$\frac{p}{2}$,
  • Parabol, nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị có hướng lên trên.
Dạng 4: Parabol (P): x$^2$ = - 2py (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
cac-thuoc-tinh-cua-parabol-4-png.1311

  • Đỉnh O(0. 0),
  • Tiêu điểm F (0, -$\frac{p}{2}$),
  • Đường chuẩn (d): y = $\frac{p}{2}$,
  • Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị có hướng xuống dưới.
Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (P) có dạng: (P): (y - β)$^2$ = ±2p(x - α) hoặc (P): (x - α)$^2$ = ±2p(y - β).
ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ với I(α, β) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - \alpha \\Y = y - \beta \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = X + \alpha \\y = Y + \beta \end{array} \right.$
ta được: (P): Y$^2$ = ±2pX hoặc (P): X$^2$ = ±2pY.
từ đó chỉ ra các thuộc tính của (P) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (P) trong hệ trục Oxy.

II. Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1.
Chứng tỏ rằng phương trình Ax$^2$ + By = 0, với A, B ≠ 0 là phương trình của một Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng. Tìm tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của Parabol đó.
Viết lại phương trình dưới dạng:
Ax$^2$ = - By ⇔ x$^2$ = - \(\frac{B}{A}\)y \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{ - \frac{B}{A} = 2p} \) x$^2$ = 2py
đó chính là phương trình của một Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng. Parabol đó có:
  • Tiêu điểm F(0; p) = (0; - \(\frac{B}{{2A}}\)).
  • Phương trình đường chuẩn y = - p ⇔ y = \(\frac{B}{{2A}}\).
Thí dụ 2. Chuyển phương trình Parabol (P) về dạng chính tắc, từ đó xác định các thuộc tính của nó và vẽ hình, biết (P) : y$^2$ + 2y - 4x - 3 = 0.
- Bạn đọc tự vẽ hình
Chuyển phương trình của (P) về dạng: (P): (y + 1)$^2$ = 4(x + 1)
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ $\overrightarrow {OS} $ với S(-1, -2) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x + 1\\Y = y + 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y - 1\end{array} \right.$
Khi đó: (P): Y$^2$ = 4X ⇒ p = 2.
Khi đó trong hệ trục SXY, (P) có các thuộc tính:
  • Đỉnh S.
  • Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F(1, 0).
  • Phương trình đường chuẩn (d): X = -1.
Do đó, trong hệ trục Oxy, (P) có các thuộc tính:
Đỉnh S(-1, -1).
  • Trục đối xứng là đường thẳng y + 1 = 0 chứa tiêu điểm F(0, -1).
  • Phương trình đường chuẩn (d): x + 2 = 0.
Thí dụ 3. Cho họ đường cong (P$_m$) : y$^2$ - 2my - 2mx + m$^2$ = 0.
Tìm điều kiện của m để (P$_m$) là phương trình một Parabol, khi đó:
a. Tìm quĩ tích đỉnh của họ (P$_m$).
b. Tìm quĩ tích tiêu điểm của họ (P$_m$).
Chuyển phương trình của (P$_m$) về dạng:
(P$_m$): (y - m)$^2$ = 2mx
Để phương trình trên là phương trình của một Parabôn điều kiện là m ≠ 0.
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ $\overrightarrow {OS} $ với S(0; m) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x\\Y = y - m\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = X\\y = Y + m\end{array} \right.$
Khi đó: (P): Y$^2$ = 2mX ⇒ p = m.
Khi đó trong hệ trục SXY, (P$_m$) có các thuộc tính:
  • Đỉnh S.
  • Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F($\frac{m}{2}$, 0).
  • Phương trình đường chuẩn (d): X = -$\frac{m}{2}$.
Do đó trong hệ trục Oxy, (P$_m$) có các thuộc tính:
  • Đỉnh S(0; m).
  • Trục đối xứng là y - m = 0 chứa tiêu điểm F($\frac{m}{2}$; m).
  • Phương trình đường chuẩn (d): x + $\frac{m}{2}$ = 0.
a. Quĩ tích đỉnh của họ (P$_m$).
S : $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = m\end{array} \right.$ ⇒ x = 0.
Vậy quĩ tích đỉnh của (P$_m$) thuộc trục tung.

b. Quĩ tích tiêu điểm của họ (P$_m$).
F: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{m}{2}\\y = m\end{array} \right.$ ⇒ y = 2x ⇔ 2x - y = 0.
Vậy quĩ tích tiêu điểm của (P$_m$) thuộc đường thẳng 2x - y = 0.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook