Dạng 1: Các thuộc tính của Elíp (E)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của Elíp (E) về dạng chính tắc (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
  • Bước 2: Xét các khả năng:
thuoc-tinh-cua-elip-png.1304
Khả năng 1: Nếu a > b, ta được:
  • (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm F$_1$(-c, 0), F$_2$(c, 0) với c$^2$ = a$^2$ - b$^2$.
  • (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài bằng 2b.
  • Tâm sai e = $\frac{c}{a}$.
Khả năng 2: Nếu a < b, ta được:
thuoc-tinh-cua-elip-1-png.1301
  • (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm F$_1$(0, -c), F$_2$(0, c) với c$^2$ = a$^2$ - b$^2$.
  • (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng 2a.
  • Tâm sai e = $\frac{c}{b}$.
Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (E) có dạng: (E): $\frac{{{{(x - \alpha )}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(y - \beta )}^2}}}{{{b^2}}}$ = 1.
ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ với I(α, β) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - \alpha \\Y = y - \beta \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = X + \alpha \\y = Y + \beta \end{array} \right.$
ta được: (E): $\frac{{{X^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{Y^2}}}{{{b^2}}} = 1$
từ đó, chỉ ra các thuộc tính của (E) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (E) trong hệ trục Oxy.

Thí dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của các elíp có phương trình sau:
a. $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
b. 4x$^2$ + 9y$^2$ = 1.
c. 4x$^2$ + 9y$^2$ = 36.
a. Ta có ngay a = 5 và b = 3, suy ra c = $\sqrt {{a^2} - {b^2}} $ = 4. Từ đó:
  • Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 10 chứa hai tiêu điểm F$_1$(- 4, 0), F$_2$(4, 0).
  • Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 6.
  • Toạ độ 4 đỉnh A$_1$(-5, 0), A$_2$(5, 0), B$_1$(0, -3), B$_2$(0, 3).
b. Biến đổi phương trình về dạng: $\frac{{{x^2}}}{{1/4}} + \frac{{{y^2}}}{{1/9}} = 1$ ⇒ a = $\frac{1}{2}$, b = $\frac{1}{3}$ và c = $\sqrt {{a^2} - {b^2}} $ = $\frac{{\sqrt 5 }}{6}$.
Từ đó:
  • Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 1 chứa hai tiêu điểm F$_1$(- $\frac{{\sqrt 5 }}{6}$, 0), F$_2$($\frac{{\sqrt 5 }}{6}$, 0).
  • Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng $\frac{2}{3}$.
  • Toạ độ 4 đỉnh A$_1$(-$\frac{1}{2}$, 0), A$_2$($\frac{1}{2}$, 0), B$_1$(0, -$\frac{1}{3}$), B$_2$(0, $\frac{1}{3}$).
c. Biến đổi phương trình về dạng: $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ ⇒ a = 3, b = 2 và c = $\sqrt {{a^2} - {b^2}} $ = $\sqrt 5 $.
Từ đó:
  • Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6 chứa hai tiêu điểm F$_1$(- $\sqrt 5 $, 0), F$_2$($\sqrt 5 $, 0).
  • Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.
  • Toạ độ 4 đỉnh A$_1$(-3, 0), A$_2$(3, 0), B$_1$(0, -2), B$_2$(0, 2).
Thí dụ 2. Xác định các đường cong sau:
a. (E): y = $\frac{2}{3}$$\sqrt {9 - {x^2}} $
b. (E): $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.$, t∈[$\frac{\pi }{2}$, 2π)
a. Biến đổi phương trình của (E) về dạng: (E): $\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\{y^2} = \frac{4}{9}(9 - {x^2})\end{array} \right.$ ⇔ (E): $\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\end{array} \right.$.
Vậy, đồ thị của (E) là phần ở phía trên Ox của đồ thị Elíp $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4}$ = 1.

b. Biến đổi phương trình của (E) về dạng: (E): $\left\{ \begin{array}{l}\sin t = \frac{x}{4}\\\cos t = \frac{y}{2}\end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits_{t \in [\frac{\pi }{2},2\pi )}^{{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t = 1} $ (E): $\left\{ \begin{array}{l}x\,\,va\,\,y\,khong\,\,dong\,thoi\,\,duong\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\end{array} \right.$.
Vậy, đồ thị của (E) là đồ thị của Elíp $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4}$ = 1 bỏ đi phần đồ thị ở góc phần tư thứ nhất.

Thí dụ 3. Tìm tâm sai của Elíp biết:
a. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60$^0$.
b. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60$^0$.
c. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 2 lần tiêu cự.
d. Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự.
a. Từ giả thiết, ta có: tan30$^0$ = $\frac{b}{c}$ ⇔ b = c.tan30$^0$ suy ra:
thuoc-tinh-cua-elip-3-png.1302
e = $\frac{c}{a}$ ⇔ e$^2$ = $\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}$ = $\frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}$ = $\frac{{{c^2}}}{{{c^2}{{\tan }^2}{{30}^0} + {c^2}}}$ = $\frac{1}{{{{\tan }^2}{{30}^0} + 1}}$ = cos$^2$30$^0$ ⇔ e = cos30$^0$ = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

b. Từ giả thiết, ta có cot30$^0$ = $\frac{b}{c}$ ⇔ b = c.cot30$^0$
suy ra: e = $\frac{c}{a}$ ⇔ e$^2$ = $\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}$ = $\frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}$ = $\frac{{{c^2}}}{{{c^2}co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}{{30}^0} + {c^2}}}$ = $\frac{1}{{co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}{{30}^0} + 1}}$ = sin$^2$30$^0$ ⇔ e = sin30$^0$ = \(\frac{1}{2}\).

c. Từ giả thiết, ta có: $\frac{{2a}}{e}$ = 4c ⇔ $\frac{{2a}}{e}$ = 4ae ⇔ e$^2$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ e = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

d. Từ giả thiết, ta có:
thuoc-tinh-cua-elip-4-png.1303
A$_2$B$_2$ = 4c ⇔ $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ = 4c ⇔ a$^2$ + b$^2$ = 16c$^2$⇔ c$^2$ + b$^2$ + b$^2$ = 16c$^2$ ⇔ b$^2$ =
$\frac{{15{c^2}}}{2}$
suy ra: e = $\frac{c}{a}$ ⇔ e$^2$ = $\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}$ = $\frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}$ = $\frac{{{c^2}}}{{\frac{{15{c^2}}}{2} + {c^2}}}$ = $\frac{2}{{17}}$ ⇔ e = $\frac{{\sqrt {34} }}{2}$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook