Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 600 và AC' = 4a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’.
A. \(V = {a^3}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\)
C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\)
D. \(V = 3a^3\)

Ta có \({V_{A.A'B'C'}} + {V_{A.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}}\)
\(= {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng \(\Rightarrow \widehat {\left( {AC';\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {60^0}\)
Khi đó
\(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} \Rightarrow AH = \sin {60^0}.4a = 2a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta A'B'C'}}\)
\(= 2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{2}\)
Vậy thể tích của khối đa diện cần tìm là \({V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}}}{2} = {a^3}\)