giải bài tập nguyên hàm

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} .$ Giải Vì điều kiện $\frac{{x – 1}}{{x + 1}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 1}\\ {x < – 1} \end{array}} \right.$, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với $x \ge 1$ thì: $\int f (x)dx$ $ = \int...

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {1 + {x^2}} .$ Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt $x = \tan t$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$, suy ra: $dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$ và $\sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^3}t}}.$ Khi đó: $\int f (x)dx$ $ =...

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}.$ Lời giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 1} $ thì ${t^2} = {x^2} – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}$ $ = \frac{{xdx}}{{2\left(...

Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ với $a < b.$ Giải bài tập Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t$, với $0 \le t \le \frac{\pi }{2}$ suy ra: $dx = 2(b – a) \sin t \cos tdt$ $ = (b – a)\sin 2tdt$, $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ $ =...

Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}.$ Giải Đặt $t = \frac{1}{{x + 1}}$ thì $x = \frac{1}{t} – 1$ suy ra: $dx = – \frac{1}{{{t^2}}}dt$, $\frac{{dx}}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}$ $ = \frac{{t\left( { – \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt}}{{\sqrt...

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{6{x^3} + 8x + 1}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Giải chi tiết Ta có: $\frac{{6{x^3} + 8x + 1}}{{3{x^2} + 4}}$ $ = 2x + \frac{1}{{3{x^2} + 4}}.$ Do đó: $I = \int f (x)dx$ $ = \int {\left( {2x + \frac{1}{{3{x^2} + 4}}} \right)}...

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + a} .$ Giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {{x^2} + a} }\\ {dv = dx} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = \frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}}\\ {v = x} \end{array}} \right.$ Khi đó: $I = \int...

Tìm các số a, b để hàm số \(f\left( x \right) = a\sin \pi x + b\) thỏa mãn: f(1)=2 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4.\) A. \(a = \pi ,b = 2\) B. \(a = -\pi ,b = 2\) C. \(a = \frac{\pi }{2} ,b = 2\) D. \(a =- \frac{\pi }{2} ,b = 2\) Lời giải Ta có \(f\left( 1 \right) = 2...

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2x + 1}}.\) A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\) B. \(\int {f(x)dx = -\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\) C. \(\int {f(x)dx = -\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\) D. \(\int {f(x)dx =\ln \left| {2x + 1} \right| +...