Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}.$
Cách 1: Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 1} $ thì ${t^2} = {x^2} – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}$ $ = \frac{{xdx}}{{2\left( {{x^2} – 1} \right) + 3\sqrt {{x^2} – 1} + 1}}$ $ = \frac{{{\rm{ }}tdt{\rm{ }}}}{{2{t^2} + 3t + 1}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx = \int {\frac{{tdt}}{{2{t^2} + 3t + 1}}} .$
Ta có: $\frac{1}{{2{t^2} + 3t + 1}}$ $ = \frac{t}{{(2t + 1)(t + 1)}}$ $ = \frac{a}{{2t + 1}} + \frac{b}{{t + 1}}$ $ = \frac{{(a + 2b)t + a + b}}{{(2t + 1)(t + 1)}}.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + 2b = 1}\\
{a + b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1}\\
{b = 1}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $\frac{t}{{2{t^2} + 3t + 1}}$ $ = – \frac{1}{{2t + 1}} + \frac{1}{{t + 1}}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( { – \frac{1}{{2t + 1}} + \frac{1}{{t + 1}}} \right)} dt$ $ = – \frac{1}{2}\ln |2t + 1| + \ln |t + 1| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{|2t + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – 1} + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} + 1}} + C.$
Cách 2: Vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = \frac{1}{{\cos t}}$, $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ suy ra $dx = \frac{{\sin tdt}}{{{{\cos }^2}t}}.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\frac{1}{{\cos t}} \cdot \frac{{\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt}}{{\frac{2}{{{{\cos }^2}t}} – 1 + 3\tan t}}} $ $ = \int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\tan tdt}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right) – 1 + 3\tan t}}} $ $ = \int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\tan tdt}}{{2{{\tan }^2}t + 3\tan t + 1}}} .$
Đặt $u = \tan t$ suy ra: $du = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}} = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{udu}}{{2{u^2} + 3u + 1}}} $ $ = \int {\left( { – \frac{1}{{2u + 1}} + \frac{1}{{u + 1}}} \right)} du$ $ = – \frac{1}{2}\ln |2u + 1| + \ln |u + 1| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(u + 1)}^2}}}{{|2u + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(\tan t + 1)}^2}}}{{|2\tan t + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – 1} + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} + 1}} + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – 1$: Bạn đọc tự giải.
Lời giải
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:Cách 1: Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 1} $ thì ${t^2} = {x^2} – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}$ $ = \frac{{xdx}}{{2\left( {{x^2} – 1} \right) + 3\sqrt {{x^2} – 1} + 1}}$ $ = \frac{{{\rm{ }}tdt{\rm{ }}}}{{2{t^2} + 3t + 1}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx = \int {\frac{{tdt}}{{2{t^2} + 3t + 1}}} .$
Ta có: $\frac{1}{{2{t^2} + 3t + 1}}$ $ = \frac{t}{{(2t + 1)(t + 1)}}$ $ = \frac{a}{{2t + 1}} + \frac{b}{{t + 1}}$ $ = \frac{{(a + 2b)t + a + b}}{{(2t + 1)(t + 1)}}.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + 2b = 1}\\
{a + b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1}\\
{b = 1}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $\frac{t}{{2{t^2} + 3t + 1}}$ $ = – \frac{1}{{2t + 1}} + \frac{1}{{t + 1}}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( { – \frac{1}{{2t + 1}} + \frac{1}{{t + 1}}} \right)} dt$ $ = – \frac{1}{2}\ln |2t + 1| + \ln |t + 1| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{|2t + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – 1} + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} + 1}} + C.$
Cách 2: Vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = \frac{1}{{\cos t}}$, $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ suy ra $dx = \frac{{\sin tdt}}{{{{\cos }^2}t}}.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\frac{1}{{\cos t}} \cdot \frac{{\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt}}{{\frac{2}{{{{\cos }^2}t}} – 1 + 3\tan t}}} $ $ = \int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\tan tdt}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right) – 1 + 3\tan t}}} $ $ = \int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\tan tdt}}{{2{{\tan }^2}t + 3\tan t + 1}}} .$
Đặt $u = \tan t$ suy ra: $du = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}} = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{udu}}{{2{u^2} + 3u + 1}}} $ $ = \int {\left( { – \frac{1}{{2u + 1}} + \frac{1}{{u + 1}}} \right)} du$ $ = – \frac{1}{2}\ln |2u + 1| + \ln |u + 1| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(u + 1)}^2}}}{{|2u + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(\tan t + 1)}^2}}}{{|2\tan t + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – 1} + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} + 1}} + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – 1$: Bạn đọc tự giải.
Sửa lần cuối: