Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình tròn có bán đáy bằng 2 và hình vuông có cạnh bằng 4 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của hình vuông là tâm của hình tròn (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.

A. \(V = \frac{{ \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\pi }}{3}.\)
B. \(V = \frac{{8\left( {5\sqrt 2 + 1} \right)\pi }}{3}.\)
C. \(V = \frac{{8\left( {5\sqrt 2 + 2} \right)\pi }}{3}.\)
D. \(V = \frac{{8\left( {3\sqrt 2 + 3} \right)\pi }}{3}.\)

Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm:
+ Khối cầu có bán kính:
\(R = 2 \Rightarrow {V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{ }}{3}\pi .\)
+ Khối nón có chiều cao \(h = \frac{{AC}}{2} = 2\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn đáy \(r = \frac{{B{\rm{D}}}}{2} = 2\sqrt 2 .\)
\({V_N} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi .\)
+ Ghi nhớ: Khi quay một hình quạt bị chắn bởi hai bán kính R tạo thành một góc \(\varphi \)thì ta được khối tròn xoay có thể tích là: \({V_Q} = {V_C}.{\sin ^2}\left( {\frac{\varphi }{4}} \right) = \left[ {1 - c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2}} \right].\frac{{{V_C}}}{2};\) với \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Vậy thể tích cần tính là \(V = \frac{{ }}{3}\pi + \frac{{ \pi \sqrt 2 }}{3} - \frac{{ }}{6}\pi \left( {1 - \cos \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{8\left( {5\sqrt 2 + 2} \right)\pi }}{3}.\)