Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. \(V = \frac{{5\pi }}{3}\).
B. \(V = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{18}}\).
C. \(V = \frac{{4\sqrt 3 \pi }}{{27}}\).
D. \(V = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}\).
Gọi M là trung điểm của AB thì \(SM \bot AB\) (vì tam giác SAB đều). Mặt khác do \(\left( {SAB} \right) \bot (ABC)\) nên \(SM \bot (ABC)\).
Tương tự: \(CM \bot (SAB)\).
Gọi G và K lần lượt là tâm của các tam giác ABC và SAB.
Trong mặt phẳng \((SMC)\), kẻ đường thẳng \(Gx{\rm{//}}SM\) và kẻ đường thẳng $Ky{\rm{//}}SM$. Gọi \(O = Gx \cap Ky\), thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OG \bot (SAB)\\OK \bot (ABC)\end{array} \right.\,\)
Suy ra \(OG,\,\,OK\) lần lượt là trục của tam giác ABC và SAB.
Do đó ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Tứ giác \(OKMN\) là hình chữ nhật có \(MK = MG = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) nên \(OKMN\) là hình vuông. Do đó \(OK = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Mặt khác \(SK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) . Xét tam giác \(SKO\) vuông tại K có $OS = \sqrt {O{K^2} + S{K^2}} = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{3}{9}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}$.
Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = OS = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\). Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}\).
A. \(V = \frac{{5\pi }}{3}\).
B. \(V = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{18}}\).
C. \(V = \frac{{4\sqrt 3 \pi }}{{27}}\).
D. \(V = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}\).
Gọi M là trung điểm của AB thì \(SM \bot AB\) (vì tam giác SAB đều). Mặt khác do \(\left( {SAB} \right) \bot (ABC)\) nên \(SM \bot (ABC)\).
Tương tự: \(CM \bot (SAB)\).
Gọi G và K lần lượt là tâm của các tam giác ABC và SAB.
Trong mặt phẳng \((SMC)\), kẻ đường thẳng \(Gx{\rm{//}}SM\) và kẻ đường thẳng $Ky{\rm{//}}SM$. Gọi \(O = Gx \cap Ky\), thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OG \bot (SAB)\\OK \bot (ABC)\end{array} \right.\,\)
Suy ra \(OG,\,\,OK\) lần lượt là trục của tam giác ABC và SAB.
Do đó ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Tứ giác \(OKMN\) là hình chữ nhật có \(MK = MG = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) nên \(OKMN\) là hình vuông. Do đó \(OK = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Mặt khác \(SK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) . Xét tam giác \(SKO\) vuông tại K có $OS = \sqrt {O{K^2} + S{K^2}} = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{3}{9}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}$.
Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = OS = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\). Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}\).