Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\sqrt 2 .\) Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. \(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3\)
B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(V = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(V = \pi {a^3}\sqrt 3\)

Gọi M là trung điểm của BC ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi P là trung điểm của SB.
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB.
Gọi I là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và (Q).
Ta có I chính là tâm mặt cầu ngoài tiếp khối chóp S.ABC.
Gọi N là trung điểm của AB.
Ta có: PN // IM (Cùng vuông góc mặt phẳng (ABC)). Suy ra I, M, N, P đồng phẳng.
Mặc khác: \(\left\{ \begin{array}{l} CA \bot SA\\ CA \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow CA \bot (SAB) \Rightarrow NM \bot (SAB) \Rightarrow NM \bot SB.\)
Ta có \(PI \subset (Q)\) mà (Q) là mặt phẳng trung trục của SB nên \(SB \bot PI.\)
Suy ra: NM // PI ( hai đường thẳng đồng phẳng và cùng vuông góc SB)
Mà \(IM \bot (ABC) \Rightarrow IM \bot MN\) nên PIMN là hình chữ nhật.
Suy ra \(IM = PN = \frac{1}{2}SA = a\sqrt 2 .\)
Ta có: \(BM = \frac{1}{2}BC = a.\)
Xét tam giác MBI vuông tại I ta có: \(IB = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 a.\)
Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = 4\pi \sqrt 3 {a^3}.\)