Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'C'C.\)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng 3a và chiều cao bằng 8a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'C'C.\)
A. \(R = 4{\rm{a}}.\)
B. \(R = 5{\rm{a}}.\)
C. \(R = a\sqrt {19} .\)
D. \(R = 2{\rm{a}}\sqrt {19} .\)

Gọi P và I lần lượt là trung điểm của \(A'C'\) và AC.
\(\begin{array}{l}EN = \frac{1}{2}IC = \frac{1}{4}AC;\,\,QM = AI = \frac{1}{2}AC\\B'P = \sqrt {{{\left( {3{\rm{a}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3{\rm{a}}}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
\(\frac{{ON}}{{OM}} = \frac{{EN}}{{QM}} = \frac{{\frac{1}{4}AC}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OM = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}B'P = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Ta có: \(PM = \frac{{PI}}{2} = \frac{{8{\rm{a}}}}{2} = 4{\rm{a}}{\rm{.}}\) Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A{B^'}{C^'}C\) là:
\(R = OC' = \sqrt {O{M^2} + MC{'^2}} = \sqrt {O{M^2} + M{P^2} + PC{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {4{\rm{a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3{\rm{a}}}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt {19} .\)