Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = 120^\circ ,\) tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \(R = \frac{{\sqrt {41} }}{6}a\)
B. \(R = \frac{{\sqrt {37} }}{6}a\)
C. \(R = \frac{{\sqrt {39} }}{6}a\)
D. \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{6}a\)

Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH \(\perp\) AB.
Lại có (SAB) \(\perp\) (ABCD) ⇒ SH \(\perp\)(ABCD)
Ta có: \(\widehat {ABC} = 60^\circ\) nên tam giác ABD đều suy ra DA = DB = DC = a suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng Dt (Dt // SH) tại I khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Ta có \(DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = IG;\;SG = \frac{2}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Do đó \({R_C} = \sqrt {I{G^2} + S{G^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}.\)