Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = a\), \(AB = b\), \(AC = c\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\).
A. \(R = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3}.\)
B. \(R = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
C. \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
D. \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(SA\).
Dựng đường thẳng \(d\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(d{\rm{//}}SA\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\) dựng đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(K\) và vuông góc với \(SA\).
Gọi \(d\) cắt \({d_1}\) tại \(I\).
Ta có \(IA = IB = IC = IS\).
Khi đó mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\) có tâm là \(I\) và bán kính là \(R = IA\).
Ta có \(AH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{2}\) và \(IH = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\).
Trong \(\Delta IAH\) có \(IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = R\).