Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.
A. \(R = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\)
B. \(R = \frac{{a\sqrt {29} }}{8}.\)
C. \(R = \frac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}.\)
D. \(R = \frac{{a\sqrt {93} }}{{12}}.\)

Xét hệ trục Hxyz như hình vẽ với H là trung điểm AD đồng thời cũng là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy. Chọn \(a = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right) \Rightarrow \) trung điểm của MN là \(I\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{4};0} \right).\)
Phương trình đường thẳng qua I và song song với Hz là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y = \frac{1}{4}\\z = t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\) Ta có: \(S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Gọi O là tâm của khối cầu cần tìm, có \(O \in {\rm{d}} \Rightarrow O\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{4};m} \right).\)
\(OS = OM \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4} - 0} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4} - 0} \right)^2} + {\left( {m - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{4} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4} - 0} \right)^2} + {\left( {m - 0} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {93} }}{{12}}.\)