a) Cho phương trình $2{x^2} - mx + 5 = 0$, với m la tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2 , tìm m và tìm nghiệm còn lại.
b) Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
c) Cho phương trình ${x^2} - 4x = 2\left| {x - 2} \right| - m - 5$, với m là tham số. Xác định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a) Vì $x = 2$ là nghiệm của phương trình nên thay $x = 2$ vào phương trình ta được $8 - 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{2}$.
Theo hệ thức Viet ta có: ${x_1}{x_2} = \frac{5}{2}$ mà ${x_1} = 2$ nên ${x_2} = \frac{5}{4}$.Vậy $m = \frac{{13}}{2}$ và nghiệm còn lại là $\frac{5}{2}$.
b) Phương trình có hai nghiệm dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 2m + 2 \ge 0\\S = 2m + 1 > 0\\P = {m^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m > - \frac{1}{2}\\m > 1 \vee m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1$
Vậy với $m > 1$ thỏa mãn bài toán.
c) Ta có ${x^2} - 4x = 2\left| {x - 2} \right| - m - 5 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 2\left| {x - 2} \right| = - m - 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} - 2\left| {x - 2} \right| = - m - 1$ (1)
Đặt $t = \left| {x - 2} \right| \ge 0$. Khi đó (1) thành: ${t^2} - 2t + 1 + m = 0$ (2)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có:$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m > 0\\1 + m > 0\\2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
c) Cho phương trình ${x^2} - 4x = 2\left| {x - 2} \right| - m - 5$, với m là tham số. Xác định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a) Vì $x = 2$ là nghiệm của phương trình nên thay $x = 2$ vào phương trình ta được $8 - 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{2}$.
Theo hệ thức Viet ta có: ${x_1}{x_2} = \frac{5}{2}$ mà ${x_1} = 2$ nên ${x_2} = \frac{5}{4}$.Vậy $m = \frac{{13}}{2}$ và nghiệm còn lại là $\frac{5}{2}$.
b) Phương trình có hai nghiệm dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 2m + 2 \ge 0\\S = 2m + 1 > 0\\P = {m^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m > - \frac{1}{2}\\m > 1 \vee m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1$
Vậy với $m > 1$ thỏa mãn bài toán.
c) Ta có ${x^2} - 4x = 2\left| {x - 2} \right| - m - 5 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 2\left| {x - 2} \right| = - m - 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} - 2\left| {x - 2} \right| = - m - 1$ (1)
Đặt $t = \left| {x - 2} \right| \ge 0$. Khi đó (1) thành: ${t^2} - 2t + 1 + m = 0$ (2)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có:$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m > 0\\1 + m > 0\\2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.