Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Các kiến thức cần nhớ
a. Phương trình trùng phương

• Phương trình trùng phương là phương trình có dạng $a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,(a \ne 0)$
• Cách giải: Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\)để đưa phương trình về phương trình bậc hai: \(a{t^2} + bt + c = 0(a \ne 0).\)

b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

• Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.
• Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
• Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.
• Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

c. Phương trình đưa về dạng phương trình tích
Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

• Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng $0$.
• Bước 2. Xét từng nhân tử bằng $0$ để tìm nghiệm.

2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
Phương pháp:
Xét phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + c = 0(a \ne 0).$

• Bước 1. Đặt \(t = {x^2}(t \ge 0)\) ta được phương trình bậc hai: \(a{t^2} + bt + c = 0 (a \ne 0).\)
• Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) , thay $t$ trở lại phép đặt ra tìm được các nghiệm của phương trình đã cho.

Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp:
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

• Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.
• Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
• Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước $2$.
• Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước $3$ với điều kiện xác định và kết luận.

Dạng 3: Phương trình đưa về dạng phương trình tích
Phương pháp:
Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

• Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
• Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Dạng 4: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp:

• Bước 1. Tìm điều kiện xác định (nếu có)
• Bước 2. Đặt ẩn phụ và giải phương tình theo ẩn mới
• Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định ở bước $1$ để kết luận nghiệm.

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn thức
Phương pháp:

• Bước 1: Điều kiện xác định
• Bước 2: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế sau đó giải phương trình.
• Bước 3: So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.

Dạng 6: Một số dạng khác
Phương pháp: Ta có thể dùng hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử, hoặc đánh giá hai vế… để giải phương trình.