Cho phương trình$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c = 0$, trong đó a,b,c là các số nguyên và a > 0, có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của a.
Giải:
Gọi ${x_1},{x_2} \in \left( {0;1} \right)$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho
$ \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.
Vì $a,b,c$ là các số nguyên và $a > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = c = a{x_1}{x_2},f\left( 1 \right) = a + b + c = a\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)$là các số nguyên dương.
Áp dụng BĐT Cauchy tacó:${x_1}\left( {1 - {x_1}} \right) \le \frac{1}{4};{x_2}\left( {1 - {x_2}} \right) \le \frac{1}{4}$$ \Rightarrow {x_1}{x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) < \frac{1}{{16}}(2)$ (Vì do${x_1} \ne {x_2}$ nên không có đẳng thức).
Từ (1) và (2)$ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{16}} > 1 \Rightarrow {a^2} > 16$ $ \Rightarrow a \ge 5$ (a là số nguyên dương).
Xét đa thức$f\left( x \right) = 5x\left( {x - 1} \right) + 1,$
ta thấy $f(x)$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của a.
Giải:
Gọi ${x_1},{x_2} \in \left( {0;1} \right)$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho
$ \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.
Vì $a,b,c$ là các số nguyên và $a > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = c = a{x_1}{x_2},f\left( 1 \right) = a + b + c = a\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)$là các số nguyên dương.
Áp dụng BĐT Cauchy tacó:${x_1}\left( {1 - {x_1}} \right) \le \frac{1}{4};{x_2}\left( {1 - {x_2}} \right) \le \frac{1}{4}$$ \Rightarrow {x_1}{x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) < \frac{1}{{16}}(2)$ (Vì do${x_1} \ne {x_2}$ nên không có đẳng thức).
Từ (1) và (2)$ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{16}} > 1 \Rightarrow {a^2} > 16$ $ \Rightarrow a \ge 5$ (a là số nguyên dương).
Xét đa thức$f\left( x \right) = 5x\left( {x - 1} \right) + 1,$
ta thấy $f(x)$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.