Giả sử phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm thuộc $\left[ {0;3} \right].$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{{18{a^2} - 9ab + {b^2}}}{{9{a^2} - 3ab + ac}}$
Lời giải:
Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên $a \ne 0$.
Biểu thức $Q$ có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho ${a^2}$ thì $Q = \frac{{18 - 9\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}}$ .
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.
Vậy :$Q = \frac{{18 - 9\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}}$
* Ta GTLN của Q: Ta đánh giá ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}$ qua ${x_1}{x_2}$ với điều kiện ${x_1},{x_2} \in \left[ {0;3} \right]$.
Giảsử $0 \le {x_1} \le {x_2} \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 \le {x_1}{x_2}\\x_2^2 \le 9\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} \le 9 + 3{x_1}{x_2}$$ \Rightarrow Q \le \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} + 9}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = 3$.
Ta cũng có thể đánh giá theo cách:
$0 \le {x_1};{x_2} \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}\left( {{x_1} - 3} \right) \le 0\\{x_2}\left( {{x_2} - 3} \right) \le 0\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_2}^2 \le 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\{x_1}{x_2} + 9 \ge 3({x_1} + {x_2})\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 \le {x_1}{x_2} + 9$$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} \le 3{x_1}{x_2} + 9$.
Suy ra $Q = \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} \le \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 + 3{x_1}{x_2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = 3$.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} = 3\\{x_1} = 0;{x_2} = 3\end{array} \right.$hay$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} = 6\\\frac{c}{a} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 6a\\c = 9a\end{array} \right.$hoặc$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} = 3\\\frac{c}{a} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3a\\c = 0\end{array} \right.$
Ta có $Q - 2 = \frac{{3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + x_1^2 + x_2^2}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} \ge 0 \Rightarrow Q \ge 2$.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = 0 \Leftrightarrow b = c = 0$. Vậy GTLN của $Q$ là 3 và GTNN của $Q$ là 2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{{18{a^2} - 9ab + {b^2}}}{{9{a^2} - 3ab + ac}}$
Lời giải:
Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên $a \ne 0$.
Biểu thức $Q$ có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho ${a^2}$ thì $Q = \frac{{18 - 9\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}}$ .
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.
Vậy :$Q = \frac{{18 - 9\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}}$
* Ta GTLN của Q: Ta đánh giá ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}$ qua ${x_1}{x_2}$ với điều kiện ${x_1},{x_2} \in \left[ {0;3} \right]$.
Giảsử $0 \le {x_1} \le {x_2} \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 \le {x_1}{x_2}\\x_2^2 \le 9\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} \le 9 + 3{x_1}{x_2}$$ \Rightarrow Q \le \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} + 9}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = 3$.
Ta cũng có thể đánh giá theo cách:
$0 \le {x_1};{x_2} \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}\left( {{x_1} - 3} \right) \le 0\\{x_2}\left( {{x_2} - 3} \right) \le 0\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_2}^2 \le 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\{x_1}{x_2} + 9 \ge 3({x_1} + {x_2})\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 \le {x_1}{x_2} + 9$$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} \le 3{x_1}{x_2} + 9$.
Suy ra $Q = \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} \le \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 + 3{x_1}{x_2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = 3$.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} = 3\\{x_1} = 0;{x_2} = 3\end{array} \right.$hay$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} = 6\\\frac{c}{a} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 6a\\c = 9a\end{array} \right.$hoặc$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} = 3\\\frac{c}{a} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3a\\c = 0\end{array} \right.$
Ta có $Q - 2 = \frac{{3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + x_1^2 + x_2^2}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} \ge 0 \Rightarrow Q \ge 2$.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = 0 \Leftrightarrow b = c = 0$. Vậy GTLN của $Q$ là 3 và GTNN của $Q$ là 2.