Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2\sqrt{2} cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng (\alpha ) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M,N,P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
A. \(V = \frac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\)
B. \(V = \frac{{125\pi }}{6}\)
C. \(V = \frac{{ \pi }}{3}\)
D. \(V = \frac{{108\pi }}{3}\)

Ta có: \(SC \bot AM\) mặt khác \(AM\perp SB\) do đó \(AM \bot (SBC) \Rightarrow AM \bot MC.\)
Như vậy \(\widehat {AMC} = {90^0}\) tương tự \(\widehat {APC} = {90^0}\)
Lại có \(\widehat {ANC} = {90^0}\)
Các tam giác AMC, APC, ANC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AC.
Gọi O là trung điểm của AC suy ra: OA=OM=OP=ON=OC.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP là trung điểm của AC suy ra
\(R = \frac{{AC}}{2} = 2 \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{ }}{3}\pi\)