Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. \(3a\)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 4a,CD = 6a,\) các cạnh còn lại đều bằng \(a\sqrt {22} \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A. \(3a\)
B. \(\frac{{a\sqrt {85} }}{3}\)
C. \(\frac{{a\sqrt {79} }}{3}\)
D. \(\frac{{5a}}{2}\)

Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
Dễ dàng chứng minh (DMC) và (ANB) là lần lượt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB và CD \( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I nằm trên đường thẳng MN.
Tính được \(MN = \sqrt {D{M^2} - D{N^2}} = \sqrt {D{B^2} - B{M^2} - D{N^2}} = 3a\)
Đặt \(MI = x \ge 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B{I^2} = A{I^2} = B{M^2} + B{I^2} = 4{a^2} + {x^2}}\\{D{I^2} = C{I^2} = D{N^2} + I{N^2} = 9{a^2} + {{\left( {3a \pm x} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow 4{a^2} + {x^2} = 9{a^2} + {\left( {3a \pm x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{7a}}{3} \Rightarrow R = BI = \frac{{a\sqrt {85} }}{3}\)