Giải bài 2 trang 51 SGK hình học lớp 12 ôn tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu:
Gọi \(S\) là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng \(AC'\) của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(b\) khi quay xung quanh trục \(AA'\). Diện tích \(S\) là:
(A) \(πb^2\);
(B) \(πb^2\sqrt 2 \) ;
(C) \(πb^2\sqrt 3 \) ;
(D) \(πb^2\sqrt 6 \) .
Hình nón tạo bởi khi quay \(AC'\) xung quanh \(AA'\) có đường sinh \(l=AC'\) và bán kính đáy \(r=C'A'\)
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C' = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + {b^2}} = b\sqrt 2=r \)
Xét tam giác vuông \(AA'C'\) có: \(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + 2{b^2}} = b\sqrt 3=l \)
Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi b\sqrt 2 .b\sqrt 3 = \pi {b^2}\sqrt 6 \)
Chọn (D).
Gọi \(S\) là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng \(AC'\) của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(b\) khi quay xung quanh trục \(AA'\). Diện tích \(S\) là:
(A) \(πb^2\);
(B) \(πb^2\sqrt 2 \) ;
(C) \(πb^2\sqrt 3 \) ;
(D) \(πb^2\sqrt 6 \) .
Lời giải chi tiết
Hình nón tạo bởi khi quay \(AC'\) xung quanh \(AA'\) có đường sinh \(l=AC'\) và bán kính đáy \(r=C'A'\)
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C' = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + {b^2}} = b\sqrt 2=r \)
Xét tam giác vuông \(AA'C'\) có: \(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + 2{b^2}} = b\sqrt 3=l \)
Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi b\sqrt 2 .b\sqrt 3 = \pi {b^2}\sqrt 6 \)
Chọn (D).