Giải bài 14 trang 52 SGK hình học lớp 12 ôn tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu :
Một hình tứ diện đều cạnh \(a\) có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:
(A) \({1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(B) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 2 \) ;
(C) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(D) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \) .
Giả sử có tứ diện đều \(ABCD\) , hình nón có đỉnh trùng với \(A\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\) bán kính đường tròn đáy bằng \({2\over3}\) độ dài trung tuyến \(BCD\)
\(r = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Đường sinh hình nón bằng cạnh \(AB=a\).
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\({S_{xq}} = \pi rl = {1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)
Chọn (C).
Một hình tứ diện đều cạnh \(a\) có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:
(A) \({1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(B) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 2 \) ;
(C) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(D) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \) .
Lời giải chi tiết
Giả sử có tứ diện đều \(ABCD\) , hình nón có đỉnh trùng với \(A\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\) bán kính đường tròn đáy bằng \({2\over3}\) độ dài trung tuyến \(BCD\)
\(r = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Đường sinh hình nón bằng cạnh \(AB=a\).
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\({S_{xq}} = \pi rl = {1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)
Chọn (C).