Giải bài 12 trang 52 SGK hình học lớp 12 ôn tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu :
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là \(a, b, c\). Khi đó bán kính \(r\) của mặt cầu bằng:
(A) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(B) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(C) \(\sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \);
(D) \({{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\).
Gọi \(O\) là tâm của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các kích thước \(AB = a;\,\,AD = b;\,\,AA' = c\) thì \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là \(R = OA = \frac{1}{2}AC'\).
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2} = {a^2} + {b^2}\)
\(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C' \Rightarrow \Delta AA'C'\) vuông tại A', do đó:
\(\begin{array}{l}
AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\
\Rightarrow R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Chọn (A).
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là \(a, b, c\). Khi đó bán kính \(r\) của mặt cầu bằng:
(A) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(B) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(C) \(\sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \);
(D) \({{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(O\) là tâm của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các kích thước \(AB = a;\,\,AD = b;\,\,AA' = c\) thì \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là \(R = OA = \frac{1}{2}AC'\).
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2} = {a^2} + {b^2}\)
\(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C' \Rightarrow \Delta AA'C'\) vuông tại A', do đó:
\(\begin{array}{l}
AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\
\Rightarrow R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Chọn (A).