Dạng 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Thí dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = f(x) = $\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$.
b. y = f(x) = $\frac{{{x^4} + 3{x^2} - 1}}{{{x^2} - 4}}$.
c. y = f(x) = $\frac{{{x^2} - 1}}{x}$.
d. y = f(x) = |x|$^3$(x$^2$ - 1).
a. Vì tập xác định D = $\mathbb{R}$\{1} không phải là tập đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ.
b. Tập xác định D = $\mathbb{R}$\{±2} - là tập đối xứng.
Xét: f(–x) = $\frac{{{{( - x)}^4} + 3{{( - x)}^2} - 1}}{{{{( - x)}^2} - 4}}$ = $\frac{{{x^4} + 3{x^2} - 1}}{{{x^2} - 4}}$ = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
c. Tập xác định D = $\mathbb{R}$\{0} - là tập đối xứng. Xét: f(–x) = $\frac{{{{( - x)}^2} - 1}}{{ - x}}$ = –$\frac{{{x^2} - 1}}{x}$ = –f(x)
Vậy, hàm số lẻ.
d. Tập xác định D = $\mathbb{R}$ - là tập đối xứng. Xét: f(–x) = |–x|$^3$[(–x)$^2$ - 1] = |x|$^3$(x$^2$ - 1) = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.

Thí dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. $y = f(x) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} .$.
b. y = f(x) = $\sqrt[3]{{2x - 3}}$ - $\sqrt[3]{{2x + 3}}$
a. Tập xác định D = [-1; 1] - là tập đối xứng. Xét: f(–x) = $\sqrt {1 - ( - x)} $ + $\sqrt {1 + ( - x)} $ = $\sqrt {1 + x} $ + $\sqrt {1 - x} $ = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
b. Hàm số xác định trên D = $\mathbb{R}$ là tập đối xứng. Ta có:
f(-x) = $\sqrt[3]{{2( - x) - 3}}$ - $\sqrt[3]{{2( - x) + 3}}$ = - $\sqrt[3]{{2x + 3}}$Z + $\sqrt[3]{{2x - 3}}$ = f(x).
Vậy, hàm số là chẵn.

Thí dụ 3. Xác định m để hàm số y = f(x) = x$^3$ + (m$^2$ - 1)x$^2$ + m - 1 là hàm lẻ.
Hàm số xác định trên D = $\mathbb{R}$ là tập đối xứng.
Khi đó, để hàm số là lẻ điều kiện là: f(–x) = –f(x), ∀m
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.$
<=> m = 1.
Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đề bài.
Chú ý: Với hàm đa thức bậc n dạng: y = f(x) = $\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}{x^i}} $ thì:

• Nếu các hệ số bậc lẻ bằng 0 thì hàm số là hàm chẵn.
• Nếu các hệ số bậc chẵn bằng 0 thì hàm số là hàm lẻ.
• Nếu tồn tại ít nhất một hệ số bậc chẵn và một hệ số bậc lẻ khác 0 thì hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Thí dụ 4. Cho hàm số y = f(x) = $\frac{1}{{(m + 1){x^2} + mx - 1}}$. Tuỳ theo m hãy xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được: y = -$\frac{1}{{{x^2} - 1}}$.
Hàm số này xác định trên D = $\mathbb{R}$\{-1, 1} là tập đối xứng và có: f(-x) = $\frac{1}{{{{( - x)}^2} - 1}}$ = $\frac{1}{{{x^2} - 1}}$ = f(x), do đó, nó là hàm chẵn.
Trường hợp 2: Với m = -1, ta được: y = $\frac{1}{{x - 1}}$.
Hàm số này xác định trên D = $\mathbb{R}$\{1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn, không lẻ.
Trường hợp 3: Với m ≠ 0 ∧ m ≠ -1.
Khi đó, hàm số g(x) = (m + 1)x$^2$ + mx - 1 không chẵn cũng không lẻ do đó hàm số y = f(x) cũng không chẵn, không lẻ.
Kết luận:

• Với m = 0, hàm số là chẵn.
• Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ.

Thí dụ 5. Cho a, b ∈ $\mathbb{R}$, xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f(a - x) + f(x) = b, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$. (1)
Đặt t = $\frac{a}{2}$ - x suy ra x = $\frac{a}{2}$ - t và a - x = $\frac{a}{2}$ + t. Khi đó:
(1) <=> f($\frac{a}{2}$ + t) + f($\frac{a}{2}$ - t) = b, ∀t ∈ $\mathbb{R}$
<=> f($\frac{a}{2}$ + t) - $\frac{b}{2}$Z + f($\frac{a}{2}$ - t) - $\frac{b}{2}$Z = 0, ∀t ∈ $\mathbb{R}$. (2)
Đặt g(t) = f($\frac{a}{2}$ + t) - $\frac{b}{2}$Z, suy ra g( - t) = f($\frac{a}{2}$ - t) - $\frac{b}{2}$Z. Khi đó:
(2) <=> g(t) + g( - t) = 0, ∀t∈R <=> g(-t) = - g(t), ∀t ∈ $\mathbb{R}$
=> g(t) là hàm lẻ trên $\mathbb{R}$.
Vậy hàm số f(x) = g(x - $\frac{a}{2}$Z) + $\frac{b}{2}$ với g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên $\mathbb{R}$.

Xem thêm:

• Dạng 4: Sơ lược về phép tịnh tiến
  
  
  
• Dạng 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số
• Dạng 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
• Dạng 7: Tìm phương trình đường cong đối xứng