Dạng 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Thí dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau:
a. y = 2x$^3$ - 6x + 3.
b. y = $\frac{x}{{2x + 1}}$.
a. Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$
khi đó hàm số có dạng: Y + b = 2(X + a)$^3$ - 6(X + a) + 3
<=> Y = 2X$^3$ + 6aX$^2$ + (6a - 6)X + 2a$^3$ - 6a + 3 - b (1)
Hàm số (1) là lẻ
<=> $\left\{ \begin{array}{l}6a = 0\\2{a^3} - 6a - b + 3 = 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\end{array} \right.$.
Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3).

b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{1}{2} - \frac{1}{{2(2x + 1)}}$.
Giả sử hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$
khi đó hàm số có dạng: Y + b = $\frac{1}{2} - \frac{1}{{[2(X + a) + 1]}}$
<=> Y = $\frac{1}{2} - b - \frac{1}{{2X + 2a + 1}}$. (1)
Hàm số (1) là lẻ
<=> $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} - b = 0\\2a + 1 = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(-$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$).

Chú ý: Đồ thị hàm số:

• y = f(x) = ax$^3$ + bx$^2$ + cx + d, với a ≠ 0 luôn nhận điểm U(-$\frac{b}{{3a}}$, f(-$\frac{b}{{3a}}$)) làm tâm đối xứng.
• y = f(x) = $\frac{{ax + b}}{{cx + d}}$, với c ≠ 0, D = ad - bc ≠ 0 luôn nhận điểm I(-$\frac{d}{c}$, $\frac{a}{c}$) làm tâm đối xứng.
• y = f(x) = $\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$, với a, d ≠ 0 luôn nhận điểm I(-$\frac{e}{d}$, f(-$\frac{e}{d}$)) làm tâm đối xứng.

Thí dụ 2. Cho hàm số: y = $\frac{{(2m - 1)x - m + 2}}{{mx - 1}}$. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng.
Điểm I(1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 1\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + 1\\y = Y + 1\end{array} \right.$
hàm số sau là hàm lẻ
Y + 1 = $\frac{{(2m - 1)(X + 1) - m + 2}}{{m(X + 1) - 1}}$ <=> Y = $\frac{{(2m - 1)(X + 1) - m + 2}}{{mX + m - 1}}$ - 1.
Để hàm số là hàm lẻ trước tiên nó phải có tập xác định D là tập đối xứng, tức là m = 0 hoặc m = 1.
Thử lại:

• Với m = 0, ta được: Y = -X, là hàm số lẻ.
• Với m = 1, ta được: Y = $\frac{{X + 2}}{X}$ - 1 = $\frac{2}{X}$, là hàm số lẻ.

Vậy, với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Cho hàm số: (Cm): y = $\frac{{{x^2} - 4mx + 5m}}{{x - 2}}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
Hai điểm A(xA,$\frac{{x_A^2 - 4m{x_A} + 5m}}{{{x_A} - 2}}$) và B(xB,$\frac{{x_B^2 - 4m{x_B} + 5m}}{{{x_B} - 2}}$) thuộc (Cm).
Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{{x_A^2 - 4m{x_A} + 5m}}{{{x_A} - 2}} + \frac{{x_B^2 - 4m{x_B} + 5m}}{{{x_B} - 2}} = 0\,\,\,(2)\end{array} \right.$
Thay (1) vào (2) ta được: (2m - 1)$x_A^2$ = 5m (3)
Để tồn tại hai điểm A và B thì phương trình (3) phải có nghiệm.
Do 0 < $x_A^2\,$≠ 4 nên:
0 < $\frac{{5m}}{{2m - 1}}$ ≠ 4 <=> $\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} < m \ne \frac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.$.
Vậy, với $\frac{1}{2}$ < m ≠ $\frac{4}{3}$ hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.