I. HÀM SỐ
1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
Với một hàm số y = f(x), ta có: D = {x∈$\mathbb{R}$| y tồn tại}, khi đó D gọi là tập xác định của hàm số.
2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).
1. Một hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có: x1 < x2 => f(x1) < f(x2).
2. Một hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a, b) nếu với x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có x1 < x2 => f(x1) > f(x2).
3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi x∈D ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f( - x) = f(x)\end{array} \right.$.
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu với mọi x∈D ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f( - x) = - f(x)\end{array} \right.$.
Nhận xét
Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị y = f(x) <=> với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn.
5. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Định nghĩa: Điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x) <=> với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ hàm số Y = F(X) - b là hàm số lẻ.
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số và a ≠ 0.
Cho hàm số: y = ax + b, với a ≠ 0.
Miền xác định D = $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên: là hàm số đơn điệu.
Cụ thể:
Đồ thị: đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng (d), do đó chỉ cần xác định hai điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có được đồ thị của (d).
Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d).
* Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2): (d1): y = a$_1$x + b1 với a1 ≠ 0, (d2): y = a$_2$x + b2 với a2 ≠ 0.
Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax$^2$ + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.
Nhận xét rằng:
ax$^2$ + bx + c = a$\left( {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)$-$\frac{{{b^2}}}{{4a}}$+ c =${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$-$\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$.
Từ đó, nếu đặt: Δ = b$^2$ - 4ac, p = -$\frac{b}{{2a}}$ và q = - $\frac{\Delta }{{4a}}$ thì hàm số y = ax$^2$ + bx + c có dạng y = a(x - p)$^2$ + q.
Như vậy, nếu gọi (P$_0$): y = ax$^2$ thì để có được đồ thị của parabol y = ax$^2$ + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau:
Vậy, ta có kết luận:
o Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).
o Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực đại y$_{max}$==f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax$^2$ mà thực hiện như sau:
*Nhận xét chung:
1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
Với một hàm số y = f(x), ta có: D = {x∈$\mathbb{R}$| y tồn tại}, khi đó D gọi là tập xác định của hàm số.
2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).
1. Một hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có: x1 < x2 => f(x1) < f(x2).
2. Một hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a, b) nếu với x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có x1 < x2 => f(x1) > f(x2).
3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi x∈D ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f( - x) = f(x)\end{array} \right.$.
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu với mọi x∈D ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f( - x) = - f(x)\end{array} \right.$.
Nhận xét
- Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- àm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị y = f(x) <=> với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn.
5. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Định nghĩa: Điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x) <=> với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ hàm số Y = F(X) - b là hàm số lẻ.
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số và a ≠ 0.
Cho hàm số: y = ax + b, với a ≠ 0.
Miền xác định D = $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên: là hàm số đơn điệu.
Cụ thể:
- Với a > 0, hàm số đồng biến.
- Với a < 0, hàm số nghịch biến.
Đồ thị: đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng (d), do đó chỉ cần xác định hai điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có được đồ thị của (d).
- Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O và điểm A(1, a).
- Nếu b ≠ 0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) và C(-$\frac{b}{a}$, 0).
Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d).
* Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2): (d1): y = a$_1$x + b1 với a1 ≠ 0, (d2): y = a$_2$x + b2 với a2 ≠ 0.
- (d1) // (d2) <=> a1 = a2 và b1 ≠ b2.
- (d1) cắt (d2) <=> a1 ≠ a2.
Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax$^2$ + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.
Nhận xét rằng:
ax$^2$ + bx + c = a$\left( {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)$-$\frac{{{b^2}}}{{4a}}$+ c =${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$-$\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$.
Từ đó, nếu đặt: Δ = b$^2$ - 4ac, p = -$\frac{b}{{2a}}$ và q = - $\frac{\Delta }{{4a}}$ thì hàm số y = ax$^2$ + bx + c có dạng y = a(x - p)$^2$ + q.
Như vậy, nếu gọi (P$_0$): y = ax$^2$ thì để có được đồ thị của parabol y = ax$^2$ + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau:
- Tịnh tiến (P$_0$) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái |p| đơn vị nếu p < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = a(x - p)$^2$ gọi là (P1).
- Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới |q| đơn vị nếu q < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = ax$^2$ + bx + c.
- Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0.
- Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
Vậy, ta có kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -$\frac{b}{{2a}}$).
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).
- Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực tiểu y$_{min}$=f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$ Vậy, ta có kết luận:
o Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).
o Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực đại y$_{max}$==f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax$^2$ mà thực hiện như sau:
- Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.
- Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này.
*Nhận xét chung:
- Δ > 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
- Δ = 0 Parabol tiếp xúc với trục hoành.
- Δ < 0 Parabol không cắt trục hoành.