Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường y = x{e^x};y = 0;x = 0 và x = 1. Đường thẳng x = k với 0 < k < 1 chia (H) thành 2 phần có diện

Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường y = x{e^x};y = 0;x = 0 và x = 1. Đường thẳng x = k với 0 < k < 1 chia (H) thành 2 phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Để \({S_1} = {S_2}\) thì k thoả mãn hệ thức nào trong các hệ thức sau?

A. \({e^k} = \frac{1}{{1 - k}}\)
B. \({e^k} = \frac{2}{{1 - k}}\)
C. \({e^k} = \frac{2}{{2 - k}}\)
D. \({e^k} = \frac{1}{{2 - 2k}}\)

Ta có: \(S = {S_1} + {S_2} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx}\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right. \Rightarrow S = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = 1\)
Mặt khác: \({S_1} = \int\limits_0^k {x{e^x}dx} = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^k = \left( {k - 1} \right){e^k} + 1 = \frac{S}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {e^k} = \frac{1}{{2\left( {1 - k} \right)}}\)