Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng
A. $\frac{{\sqrt {21} a}}{{14}}$ .
B. $\frac{{\sqrt {21} a}}{7}$ .
C. $\frac{{\sqrt 2 a}}{2}$ .
D. $\frac{{\sqrt {21} a}}{{28}}$ .
Trích đề thi chính thức 2019 mã 101
A. $\frac{{\sqrt {21} a}}{{14}}$ .
B. $\frac{{\sqrt {21} a}}{7}$ .
C. $\frac{{\sqrt 2 a}}{2}$ .
D. $\frac{{\sqrt {21} a}}{{28}}$ .
Trích đề thi chính thức 2019 mã 101
Đáp án B
Gọi H là trung điểm AB. Suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.
Ta có $\frac{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)$.
Gọi I là trung điểm OB, suy ra HI || OA(với O là tâm của đáy hình vuông).
Suy ra $HI = \frac{1}{2}OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HI\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right)$.
Vẽ $HK \bot SI \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right)$.
Ta có $\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$.
Suy ra $d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.
Gọi H là trung điểm AB. Suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.
Ta có $\frac{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)$.
Gọi I là trung điểm OB, suy ra HI || OA(với O là tâm của đáy hình vuông).
Suy ra $HI = \frac{1}{2}OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HI\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right)$.
Vẽ $HK \bot SI \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right)$.
Ta có $\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$.
Suy ra $d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.