Cho hình chóp S.ABC có \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AC = a,\,\,BC = a\sqrt 5 ,\,\,SA = a.\)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABC có \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AC = a,\,\,BC = a\sqrt 5 ,\,\,SA = a.\) Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\)
B. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{5}.\)
C. \(\frac{{3a\sqrt {11} }}{2}.\)
D. \(\frac{{7a\sqrt {11} }}{2}.\)

Ta có: \({\rm{cos}}\widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
\(r = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.\frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}a.\)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Dựng trung trực \(\Delta \) của cạnh SA. Gọi \(O = d \cap \Delta .\) Ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(R = \sqrt {I{A^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\,\,\,do\,\,\,IA = r.\)