Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(3\sqrt 2 \) và đường cao bằng \(3\sqrt 3 \)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(3\sqrt 2 \) và đường cao bằng \(3\sqrt 3 \). Tính diện tích của S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
A. \(48\pi \)
B. \(4\sqrt 3 \pi \)
C. \(12\pi \)
D. \( \sqrt 3 \pi \)

Gọi I là trung điểm của BC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\)
Đường thẳng qua J và vuông góc với SI giao với SO tại K. Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có: \(2O{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 2O{B^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18 \Leftrightarrow OB = 3\)
\(\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{2}{{O{B^2}}} = \frac{2}{9} \Leftrightarrow OI = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\)
\(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{2}\)
\(SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} = 6\)
Đặt \(SJ = r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\)
Ta có: \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}SI.BC = \frac{{SB.SC.BC}}{{4r}} \Leftrightarrow r = \frac{{SB.SC}}{{2.SI}} = \frac{{{6^2}}}{{2.\frac{{3\sqrt {14} }}{2}}} = \frac{{12}}{{14}} \Rightarrow SJ = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}\)
Vì \(\Delta SKJ\~\Delta SIO\) nên \(\frac{{SK}}{{SJ}} = \frac{{SI}}{{SO}} \Leftrightarrow SK = \frac{{SI}}{{SO}}.SJ = \frac{{\frac{{3\sqrt {14} }}{2}}}{{3\sqrt 3 }}.\frac{{12}}{{\sqrt {14} }} = 2\sqrt 3 \)
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(S = 4\pi .S{K^2} = 4\pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 48\pi \)