Toán 12 Cho đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Hàm Số Phân Thức|
Cho đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\). Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) và cách đều hai trục tọa độ. Giả sử các điểm đó lần lượt là M và N. Tìm độ dài đoạn thẳng MN.
A. \(MN = 4\sqrt 2 \)
B. \(MN = 2\sqrt 2 \)
C. \(MN = 3\sqrt 5 \)
D. \(MN = 3\)

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) điểm thuộc (C) và cách đều hai trục tọa độ. Khi đó: \(\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = {y_0}}\\{{x_0} = - {y_0}}\end{array}} \right.\)
+ Nếu \({x_0} = {y_0}\) thì ta có \({x_0} = \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow {x_0}\left( {{x_0} + 1} \right) = {x_0} - 3 \Leftrightarrow x_0^2 = - 3\) (vô nghiệm)
+ Nếu \({x_0} = - {y_0}\) thì ta có: \( - {x_0} = \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow - x_0^2 - 2{x_0} + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right)}\\{{x_0} = - 3 \Rightarrow {y_0} = 3 \Rightarrow N\left( { - 3;3} \right)}\end{array}} \right.\)
\(MN = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 .\)