Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx} = a + b\pi ,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\)

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx} = a + b\pi ,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\)
A. \(S = 0\)
B. \(S = 1\)
C. \(S = \frac{1}{2}\)
D. \(S = \frac{3}{8}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \cos 2xdx}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{1}{2}\sin 2x}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx = \frac{1}{2}x\sin x2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} } \)
\( = \frac{1}{2}x\sin 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. + \frac{1}{4}\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array} = - \frac{1}{4}} \right. + \frac{1}{8}\pi \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{4}}\\{b = \frac{1}{8}}\end{array} \Rightarrow S = a + 2b = 0} \right.\)