Trọng tâm của tam giác

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trọng tâm của tam giác là một điểm, nó là nơi giao nhau của ba đường trung tuyến.
Giả sử cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AD, BE, CF. Gọi G là giao điểm của 3 đường trung tuyến trên thì G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

1. Tính chất trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC thì trọng tâm G của tam giác có tính chất:
  • Tính chất: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Nghĩa là $AG = \frac{2}{3}AD;\,BG = \frac{2}{3}BE;\,CG = \frac{2}{3}CF$

2. Xác định trọng tâm của một tam giác

Để xác định trọng tâm của tam giác ta có 2 cách sau. Cách thực hiện như sau:
Cách 1:
  • Tìm trung điểm D của BC sao cho BD = CD
  • Nối A với D ta được đường trung tuyến AD.
  • Tương tự với các đường trung tuyến còn lại.
  • Giao 3 đường trung tuyến là điểm G. Suy ra G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cách 2:
  • Tìm trung điểm D của BC sao cho BD = CD
  • Nối A với D ta được đường trung tuyến AD.
  • Trên đoạn thẳng AD lấy điểm G sao cho $AG = \frac{2}{3}AD$
  • Vậy theo tính chất trọng tâm ta có G chính là trọng tâm tam giác ABC.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biết AM là đường trung tuyến với M thuộc cạnh BC và AM=12cm. Tính độ dài đoạn AG và GM.
Hướng dẫn
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
$AG=\dfrac{2}{3}AM =\dfrac{2}{3}.12 =8cm$
$GM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{1}{3}.12 =4cm$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC?
Hướng dẫn giải
trọng tâm tam giác.png
\(AD = DE = EM = \frac{1}{3}AM \Rightarrow AE = \frac{2}{3}AM\)
Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AE = \frac{2}{3}AM\)
\( \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A
Hướng dẫn
Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:
\(\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}\)
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét \(\Delta BNG \ và \ \Delta CGM\) ta có:
BG = CN
GN = GM
\(\widehat{BGN}= \widehat{CGM}\) ( 2 goc đối đỉnh)
Suy ra : \(\Delta BNG \ đồng \ dạng \ \Delta CMG\)
Suy ra: BN = CM (1)
mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)
Từ (1) và (2) ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).