Giải bài 8 trang 40 SGK hình học lớp 12 phần mặt nón - mặt trụ - mặt cầu
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \((O;r)\) và \((O';r)\). Khoảng cách giữa hai đáy là \(OO' = r.\sqrt3\). Một hình nón có đỉnh là \(O'\) và có đáy là hình tròn \((O;r)\).
a) Gọi \(S_1\) là diện tích xung quanh của hình trụ và \(S_2\) là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \({{{S_1}} \over {{S_2}}}\).
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.
\[S_1 = 2πr.h = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2\]
Với \(M\) là một điểm bất kì thuộc đường tròn \((O)\) thì \(O'M\) là một đường sinh của hình nón ta có:
\(l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{r^2} + {r^2}} = 2r\)
Hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l=2r\) nên diện tích xung quanh hình nón là:
\[S_2 = πrl'= π.r.2r = 2πr^2\]
Vậy: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3 \)
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Gọi V là thể tích khối trụ ta có: \(V = \pi {r^2}h\)
Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón ta có: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Gọi \(V_2\) là thế tích phần còn lại ta có: \({V_2} = V - {V_1} = \pi {r^2}h - \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{2}{3}\pi {r^2}h\)
Vậy tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\frac{2}{3}\pi {r^2}h}} = \frac{1}{2}\).
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \((O;r)\) và \((O';r)\). Khoảng cách giữa hai đáy là \(OO' = r.\sqrt3\). Một hình nón có đỉnh là \(O'\) và có đáy là hình tròn \((O;r)\).
a) Gọi \(S_1\) là diện tích xung quanh của hình trụ và \(S_2\) là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \({{{S_1}} \over {{S_2}}}\).
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.
Lời giải chi tiết
Hình trụ có chiều cao \(l = h = r\sqrt3\) và bán kính đáy \(r\) nên diện tích xung quanh hình trụ là:\[S_1 = 2πr.h = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2\]
Với \(M\) là một điểm bất kì thuộc đường tròn \((O)\) thì \(O'M\) là một đường sinh của hình nón ta có:
\(l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{r^2} + {r^2}} = 2r\)
Hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l=2r\) nên diện tích xung quanh hình nón là:
\[S_2 = πrl'= π.r.2r = 2πr^2\]
Vậy: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3 \)
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Gọi V là thể tích khối trụ ta có: \(V = \pi {r^2}h\)
Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón ta có: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Gọi \(V_2\) là thế tích phần còn lại ta có: \({V_2} = V - {V_1} = \pi {r^2}h - \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{2}{3}\pi {r^2}h\)
Vậy tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\frac{2}{3}\pi {r^2}h}} = \frac{1}{2}\).