Giải bài 64 trang 92 SGK hình học tập 2 lớp 9 phần Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp:
Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(\overparen{AB}\), \(\overparen{BC}\), \(\overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}\)=\(60^0\), \(sđ\overparen{BC}\)=\(90^0\), \(sđ\overparen{CD}\)=\(120^0\)
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\).
\(\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn\(\overparen{ABC}\) ) (2)
Từ (1) và (2) có:
\(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3)
\(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(AD\) và hai đường thẳng \(AB, CD\).
Đẳng thức (3) chứng tỏ \(AB // CD\). Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân.
Vậy \(ABCD\) là hình thang cân (\(BC = AD\) và \(sđ\overparen{BC}\)=\(sđ\overparen{AD}\)=\(90^0\))
b) Giả sử hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\).
\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:
\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) = \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)
Vậy \(AC \bot BD\)
c)
Vì \(sđ\overparen{AB}\) = \(60^0\) nên \(\widehat {AIB} = {60^0}\) \(=> ∆AIB\) đều, nên \(AB = R\)
Vì \(sđ\overparen{BC}\)= \(90^0\) nên \(BC = R\sqrt2\)
\( AD = BC = R\sqrt2\)
nên \(sđ\overparen{CD}\)= \(120^0\) nên \(CD = R\sqrt3\)
Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(\overparen{AB}\), \(\overparen{BC}\), \(\overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}\)=\(60^0\), \(sđ\overparen{BC}\)=\(90^0\), \(sđ\overparen{CD}\)=\(120^0\)
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\).
Lời giải bài tập
\(\widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\) (góc nội tiếp chắn \(\overparen{BCD}\)) (1)\(\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn\(\overparen{ABC}\) ) (2)
Từ (1) và (2) có:
\(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3)
\(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(AD\) và hai đường thẳng \(AB, CD\).
Đẳng thức (3) chứng tỏ \(AB // CD\). Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân.
Vậy \(ABCD\) là hình thang cân (\(BC = AD\) và \(sđ\overparen{BC}\)=\(sđ\overparen{AD}\)=\(90^0\))
b) Giả sử hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\).
\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:
\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) = \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)
Vậy \(AC \bot BD\)
c)
Vì \(sđ\overparen{AB}\) = \(60^0\) nên \(\widehat {AIB} = {60^0}\) \(=> ∆AIB\) đều, nên \(AB = R\)
Vì \(sđ\overparen{BC}\)= \(90^0\) nên \(BC = R\sqrt2\)
\( AD = BC = R\sqrt2\)
nên \(sđ\overparen{CD}\)= \(120^0\) nên \(CD = R\sqrt3\)
Nguồn: 7scv.com