1. Các kiến thức cần nhớ
a. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha \) \(\left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = \alpha \) là hai cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn \(AB\).
Chú ý : Hai cung chứa góc \(\alpha \) nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua \(AB\). Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích.
Đặc biệt : Quỹ tích các điểm \(M\) nhìn đoạn thẳng \(AB\) cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\).
b. Cách vẽ cung chứa góc
Bài toán: Cho đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha \,({0^0} < \alpha < {180^0}).$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn \(\widehat {AMB} = \alpha \) .
(Thông thường với bài toán: “Tìm quỹ tích …” ta nên dự đoán hình $H$ trước khi chứng minh)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1 : Quỹ tích là cung chứa góc \(\alpha \) .
Phương pháp :
Phương pháp : Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là\(AB\)và cùng nhìn đoạn cố định \(AB\) dưới một góc không đổi.
Dạng 3 : Dựng cung chứa góc
Phương pháp :
Thực hiện quy trình dựng sau đây :
a. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha \) \(\left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = \alpha \) là hai cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn \(AB\).
Chú ý : Hai cung chứa góc \(\alpha \) nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua \(AB\). Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích.
Đặc biệt : Quỹ tích các điểm \(M\) nhìn đoạn thẳng \(AB\) cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\).
b. Cách vẽ cung chứa góc
Bài toán: Cho đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha \,({0^0} < \alpha < {180^0}).$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn \(\widehat {AMB} = \alpha \) .
- Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) ;
- Vẽ tia \(Ax\) tạo với \(AB\) một góc \(\alpha \);
- Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(Ax\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d\).
- Vẽ cung $\overparen{AmB}$ , tâm \(O\) , bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(A\,x\). Cung $\overparen{AmB}$ được vẽ như trên là một cung chứa góc \(\alpha \).
- Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(T\) là một hình \(H\) nào đó, ta phải chúng minh hai phần :
- Phần thuận : Mọi điểm có tính chất \(T\) đều thuộc hình \(H\).
- Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình \(H\) đều có tính chất \(T\).
(Thông thường với bài toán: “Tìm quỹ tích …” ta nên dự đoán hình $H$ trước khi chứng minh)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1 : Quỹ tích là cung chứa góc \(\alpha \) .
Phương pháp :
- Tìm đoạn cố định trong hình vẽ.
- Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc \(\alpha \) không đổi.
- Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc \(\alpha \)dựng trên đoạn cố định.
Phương pháp : Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là\(AB\)và cùng nhìn đoạn cố định \(AB\) dưới một góc không đổi.
Dạng 3 : Dựng cung chứa góc
Phương pháp :
Thực hiện quy trình dựng sau đây :
- Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\);
- Vẽ tia \(A\,x\) tạo với \(AB\) một góc \(\alpha \);
- Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(A\,x\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d\).
- Vẽ cung \(AmB\) , tâm \(O\), bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(A\,x\). Cung $AmB$ được vẽ như trên là một cung chứa góc \(\alpha \).