Giải bài 30 trang 79 SGK hình học tập 2 lớp 9 phần Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: Nếu \(\widehat{ BAx}\) (với đỉnh \(A\) nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung \(AB\)), có số đo bằng nửa số đo của \overparen{AB} căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \(Ax\) là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).
Theo giả thiết,
Suy ra: \(\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}\)
Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( \(OC \bot AB\) ).
Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là \(OA \bot Ax\).
Vậy \(Ax\) phải là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A\)
Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng.
Nếu cạnh kia không phải là tiếp tuyến tại \(A\) mà là cát tuyến đi qua \(A\) và giả sử nó cắt \((O)\) tại \(C\) thì \(\widehat {BAC} \) là góc nội tiếp
Điều này trái với giả thiết. Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến \(Ax\)
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: Nếu \(\widehat{ BAx}\) (với đỉnh \(A\) nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung \(AB\)), có số đo bằng nửa số đo của \overparen{AB} căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \(Ax\) là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).
Lời giải bài tập
Cách 1( hình a). Chứng minh trực tiếpTheo giả thiết,
Suy ra: \(\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}\)
Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( \(OC \bot AB\) ).
Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là \(OA \bot Ax\).
Vậy \(Ax\) phải là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A\)
Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng.
Nếu cạnh kia không phải là tiếp tuyến tại \(A\) mà là cát tuyến đi qua \(A\) và giả sử nó cắt \((O)\) tại \(C\) thì \(\widehat {BAC} \) là góc nội tiếp
Điều này trái với giả thiết. Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến \(Ax\)