Cho Parabol $(P):y = {x^2}$ và đường thẳng $(d):y = mx + 4$ .
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ của các điểm $A,B$.
Tìm giá trị lớn nhất của $Q = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}$ .
b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng $8$ .
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${x^2} = mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0$ .
Ta có $\Delta = {m^2} + 16 > 0$, với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt,
suy ra đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.$
ta có $Q = \frac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}}$.
(dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm phần ứng dụng trong bài toán GTLN, GTNN)
ta dễ tìm được giá trị lớn nhất của $Q$ là 1 và GTNN của $Q$ là $ - \frac{1}{8}$ đạt được khi $m = 1$ và $m = - 8$.
b) Để ý rằng đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua điểm cố định $I\left( {0;4} \right)$ nằm trên trục tung.
Ngoài ra nếu gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì ${x_1}.{x_2} = - 4 < 0$
nên hai giao điểm $A,B$ nằm về hai phía trục tung. Giả sử ${x_1} < 0 < {x_2}$ thì ta có:
${S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \frac{1}{2}AH.OI + \frac{1}{2}BK.OI$ với $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A,B$ trên trục $Oy$.
Ta có $OI = 4,AH = \left| {{x_1}} \right| = - {x_1},BK = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}$.
Suy ra ${S_{OAB}} = 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$ $ \Rightarrow S_{OAB}^2 = 4{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]$.
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = m,{x_1}{x_2} = - 4$.
Thay vào ta có: $S_{OAB}^2 = 4\left( {{m^2} + 16} \right) = 64 \Leftrightarrow m = 0$.
Nếu thay điều kiện $S = 8$ thành diện tích tam giác OAB nhỏ nhất ta cũng có kết quả như trên.
Vì ${m^2} \ge 0 \Rightarrow {S^2} \ge 4\left( {{m^2} + 16} \right) \ge 64$.
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ của các điểm $A,B$.
Tìm giá trị lớn nhất của $Q = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}$ .
b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng $8$ .
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${x^2} = mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0$ .
Ta có $\Delta = {m^2} + 16 > 0$, với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt,
suy ra đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.$
ta có $Q = \frac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}}$.
(dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm phần ứng dụng trong bài toán GTLN, GTNN)
ta dễ tìm được giá trị lớn nhất của $Q$ là 1 và GTNN của $Q$ là $ - \frac{1}{8}$ đạt được khi $m = 1$ và $m = - 8$.
b) Để ý rằng đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua điểm cố định $I\left( {0;4} \right)$ nằm trên trục tung.
Ngoài ra nếu gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì ${x_1}.{x_2} = - 4 < 0$
nên hai giao điểm $A,B$ nằm về hai phía trục tung. Giả sử ${x_1} < 0 < {x_2}$ thì ta có:
${S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \frac{1}{2}AH.OI + \frac{1}{2}BK.OI$ với $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A,B$ trên trục $Oy$.
Ta có $OI = 4,AH = \left| {{x_1}} \right| = - {x_1},BK = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}$.
Suy ra ${S_{OAB}} = 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$ $ \Rightarrow S_{OAB}^2 = 4{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]$.
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = m,{x_1}{x_2} = - 4$.
Thay vào ta có: $S_{OAB}^2 = 4\left( {{m^2} + 16} \right) = 64 \Leftrightarrow m = 0$.
Nếu thay điều kiện $S = 8$ thành diện tích tam giác OAB nhỏ nhất ta cũng có kết quả như trên.
Vì ${m^2} \ge 0 \Rightarrow {S^2} \ge 4\left( {{m^2} + 16} \right) \ge 64$.