Cho phương trình ${x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 2 = 0$ (1) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt

1) Cho phương trình ${x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 2 = 0$ (1)
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi các nghiệm của phương trình là ${x_1},{x_2}$.
Không tính giá trị của ${x_1},{x_2}$, hãy tính các giá trị của biểu thức sau:
$A = x_1^2 + x_2^2$
$B = x_1^3 + x_2^3$
$C = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}}$
Giải
1) Xét $\Delta = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 4.\left( { - \sqrt 2 } \right) = 3 + 4\sqrt 2 > 0$.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
Chú ý: Có thể nhận xét $ac < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có:

• $\begin{array}{l}
  \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{x_1} + {x_2} = - \sqrt 3 }\\
  {{x_1}.{x_2} = - \sqrt 2 }
  \end{array}} \right.\$ \\
  \$ A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 2\left( { - \sqrt 2 } \right) = 3 + 2\sqrt 2 \$ \\
  \$ B = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 3\left( { - \sqrt 2 } \right)\left( { - \sqrt 3 } \right) = - 3\sqrt 3 - 3\sqrt 6 \$ \\
  \$ C = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} = \frac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = \frac{{ - \sqrt 3 - 2}}{{ - \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1}}
  \end{array}$