1) Cho phương trình${x^2} - 2\left( {2m + 1} \right)x + 4{m^2} + 4m - 3 = 0$.
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
Giải
Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ' > 0$
$ \Leftrightarrow \left[ { - {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} \right] - \left( {4{m^2} + 4m - 3} \right) = 4 > 0,\forall m$.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Gọi hai nghiệm của phương trình là ${x_1},{x_2}$.
Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {2m + 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = 4{m^2} + 4m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.$. Có thể giả sử ${x_1} = 2{x_2}$ (3).
Khi đó từ (1) và (3) có $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{2\left( {2m + 1} \right)}}{3}\\{x_1} = \frac{{4\left( {2m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.$.
Thay vào (2) ta có phương trình $8.\frac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}{9} = 4{m^2} + 4m - 3 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 35 = 0$
Giải phương trình ta được $m = \frac{5}{2}$ hoặc $m = - \frac{7}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2: Từ yêu cầu đề bài suy ra ${x_1} = 2{x_2}$ hoặc ${x_2} = 2{x_1}$,
tức là: $\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 0 \Leftrightarrow 9{x_1}{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 0$
áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình $4{m^2} + 4m - 35 = 0$.
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
Giải
Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ' > 0$
$ \Leftrightarrow \left[ { - {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} \right] - \left( {4{m^2} + 4m - 3} \right) = 4 > 0,\forall m$.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Gọi hai nghiệm của phương trình là ${x_1},{x_2}$.
Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {2m + 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = 4{m^2} + 4m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.$. Có thể giả sử ${x_1} = 2{x_2}$ (3).
Khi đó từ (1) và (3) có $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{2\left( {2m + 1} \right)}}{3}\\{x_1} = \frac{{4\left( {2m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.$.
Thay vào (2) ta có phương trình $8.\frac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}{9} = 4{m^2} + 4m - 3 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 35 = 0$
Giải phương trình ta được $m = \frac{5}{2}$ hoặc $m = - \frac{7}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2: Từ yêu cầu đề bài suy ra ${x_1} = 2{x_2}$ hoặc ${x_2} = 2{x_1}$,
tức là: $\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 0 \Leftrightarrow 9{x_1}{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 0$
áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình $4{m^2} + 4m - 35 = 0$.