Cho các phương trình ${x^2} + ax + b = 0$ (1); ${x^2} + cx + d = 0$ (2), trong đó các hệ số $a,b,c,d$ đều khác $0$. Biết $a,b$ là nghiệm của phương trình (2) và $c,d$ là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 10$.
Giải:
Áp dụng hệ thức Viet ta có: a + b = - c; ab = d; c + d = - a;cd = b.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}c + d = - a\\a + b = - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - a - d\\a + b = - c\end{array} \right. \Rightarrow b = d$
Kết hợp với $ab = d$ và $cd = b$ suy ra $a = 1,c = 1$
Do $a + b = - c$ và $c + d = - a$ suy ra $b = - 2,d = - 2$
Do đó ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 10$.
Giải:
Áp dụng hệ thức Viet ta có: a + b = - c; ab = d; c + d = - a;cd = b.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}c + d = - a\\a + b = - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - a - d\\a + b = - c\end{array} \right. \Rightarrow b = d$
Kết hợp với $ab = d$ và $cd = b$ suy ra $a = 1,c = 1$
Do $a + b = - c$ và $c + d = - a$ suy ra $b = - 2,d = - 2$
Do đó ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 10$.