Với mọi số nguyên dương $n$, ta có: $\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+…+\dfrac{1}{\left( 3n-1 \right)\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{an+b}{cn+4}$, tron

Với mọi số nguyên dương $n$, ta có: $\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+…+\dfrac{1}{\left( 3n-1 \right)\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{an+b}{cn+4}$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}$.
C. $T=3$.
B. $T=6$.
C. $T=43$.
D. $T=42$.

Đáp án B.
Cách 1: Với chú ý $\dfrac{1}{\left( 3k-1 \right)\left( 3k+2 \right)}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{3k-1}-\dfrac{1}{3k+2} \right)$, chúng ta có: $\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+…+\dfrac{1}{\left( 3n-1 \right)\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+…+\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2} \right)$
=$\dfrac{1}{3}.\dfrac{3n}{2\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{n}{6n+4}$.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: $a=1,b=0,c=6$.
Suy ra $T=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=6$.
Cách 2: Cho $n=1,n=2,n=3$ ta được: $\dfrac{a+b}{c=4}=\dfrac{1}{10};\dfrac{2a+b}{2c+4}=\dfrac{1}{8};\dfrac{3x+b}{3c+4}=\dfrac{3}{22}$.
Giải hệ phương trình trên ta được $a=1,b=0,c=6$. Suy ra $T=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=6$