Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left( 1-\dfrac{1}{4} \right)\left( 1-\dfrac{1}{9} \right)…\left( 1-\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\dfra

Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left( 1-\dfrac{1}{4} \right)\left( 1-\dfrac{1}{9} \right)…\left( 1-\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\dfrac{an+2}{bn+4}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
C. $P=5$.
B. $P=9$.
C. $P=20$.
D. $P=36$.

Đáp án C.
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: $1-\dfrac{1}{{{k}^{2}}}=\dfrac{k-1}{k}.\dfrac{k+1}{k}$. Suy ra $\left( 1-\dfrac{1}{4} \right)\left( 1-\dfrac{1}{9} \right)…\left( 1-\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{3}…\dfrac{n-1}{n}.\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{2n+2}{4n}$.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: $a=2,b=4$. Suy ra $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=20$.
Cách 2: Cho $n=2,n=3$ ta được $\dfrac{a+1}{b}=\dfrac{3}{4};\dfrac{3a+2}{3b}=\dfrac{2}{3}$. Giải hệ phương trình trren ta được $a=2;b=4$. Suy ra $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=20$.