Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\left( d \right): 2x - y - {a^2} = 0$
và parabol $\left( P \right): y = a{x^2}$ $(a > 0)$.
a) Tìm a để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$.
Chứng minh rằng a và b nằm bên phải trục tung.
b) Gọi ${x_A},{x_B}$ là hoành độ của a và b.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{4}{{{x_A} + {x_B}}} + \frac{1}{{{x_A}.{x_B}}}$.
(Trích Đề thi vòng 1 THPT chuyên – TP Hà Nội năm học 2005-2006)
Lời giải:
a) Xét phương trình $a{x^2} = 2x - {a^2}$ $ \Leftrightarrow a{x^2} - 2x + {a^2} = 0$ (1)
$\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ .tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow a < 1$.
Kết hợp với điều kiện ta có $0 < a < 1$ khi đó (1) có hai nghiệm dương nên $A,B$ nằm ở bên phải trục $Oy$.
b) Theo định lý Vi et ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \frac{2}{a} > 0\\{x_A}.{x_B} = a > 0\end{array} \right.$.
Ta có: $T = 2a + \frac{1}{a}$
theo bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có: $2a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt 2 $. Vậy $\min T = 2\sqrt 2 $ khi $a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
và parabol $\left( P \right): y = a{x^2}$ $(a > 0)$.
a) Tìm a để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$.
Chứng minh rằng a và b nằm bên phải trục tung.
b) Gọi ${x_A},{x_B}$ là hoành độ của a và b.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{4}{{{x_A} + {x_B}}} + \frac{1}{{{x_A}.{x_B}}}$.
(Trích Đề thi vòng 1 THPT chuyên – TP Hà Nội năm học 2005-2006)
Lời giải:
a) Xét phương trình $a{x^2} = 2x - {a^2}$ $ \Leftrightarrow a{x^2} - 2x + {a^2} = 0$ (1)
$\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ .tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow a < 1$.
Kết hợp với điều kiện ta có $0 < a < 1$ khi đó (1) có hai nghiệm dương nên $A,B$ nằm ở bên phải trục $Oy$.
b) Theo định lý Vi et ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \frac{2}{a} > 0\\{x_A}.{x_B} = a > 0\end{array} \right.$.
Ta có: $T = 2a + \frac{1}{a}$
theo bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có: $2a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt 2 $. Vậy $\min T = 2\sqrt 2 $ khi $a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.