số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ

Chứng minh: ${a_n} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} - 2$ là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ.
Lời giải:
Ta có ${a_n} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} - 2 = {\left( {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}} \right)^2}$.
Xét dãy ${S_n} = {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n}$,
ta chứng minh ${b_n}$ là một số nguyên.
Xét ${x_1} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2},{x_2} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.$
suy ra ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình: ${x^2} - x - 1 = 0$.
Ta có ${S_{n + 1}} = {x_1}^{n + 1} + {x_2}^{n + 1} = \left( {{x_1}^n + {x_2}^n} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2}\left( {{x_1}^{n - 1} + {x_2}^{n - 1}} \right)$
hay ${S_{n + 1}} = {S_n} - {S_{n - 1}}$. Ta có ${S_1} = 1,{S_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3,{S_3} = {S_2} - {S_1} = 2$.
Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được ${S_n}$ là số nguyên .
Suy ra ${a_n} = {\left( {{S_n}} \right)^2}$ là số chính phương.