Đề bài
Cho các số thực dương \(a,b\); \(a \ne b\).
Chứng minh rằng: \(\frac{{\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{a\sqrt a - b\sqrt b }} + \frac{{3a + 3\sqrt {ab} }}{{b - a}} = 0\).
Lời giải:
Ta có: \(Q = \frac{{\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{a\sqrt a - b\sqrt b }} + \frac{{3a + 3\sqrt {ab} }}{{b - a}}\) \( = \frac{{\frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + b} \right)}} - \frac{{3\sqrt a + \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = 0\)\( = \frac{{a\sqrt a + 3a\sqrt b + 3b\sqrt a + b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + b} \right)}} - \frac{{3\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\)
\( = \frac{{3a\sqrt a + 3a\sqrt b + 3b\sqrt a - 3a\sqrt a - 3a\sqrt b - 3b\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + b} \right)}} = 0\)
(ĐPCM).
Cho các số thực dương \(a,b\); \(a \ne b\).
Chứng minh rằng: \(\frac{{\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{a\sqrt a - b\sqrt b }} + \frac{{3a + 3\sqrt {ab} }}{{b - a}} = 0\).
Lời giải:
Ta có: \(Q = \frac{{\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{a\sqrt a - b\sqrt b }} + \frac{{3a + 3\sqrt {ab} }}{{b - a}}\) \( = \frac{{\frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + b} \right)}} - \frac{{3\sqrt a + \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = 0\)\( = \frac{{a\sqrt a + 3a\sqrt b + 3b\sqrt a + b\sqrt b + 2a\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + b} \right)}} - \frac{{3\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\)
\( = \frac{{3a\sqrt a + 3a\sqrt b + 3b\sqrt a - 3a\sqrt a - 3a\sqrt b - 3b\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + b} \right)}} = 0\)
(ĐPCM).