Toán 8 | Giải toán 8 | Giải toán lớp 8 | Giải bài tập toán 8 | Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Đề bài:
Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} = - 4xy.\)
Bài 2. Chứng minh rằng \({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2}\) luôn chia hết cho 9, với mọi giá trị nguyên của n.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = - {x^2} + 6x + 1.\)
Bài 4. Chứng minh rằng nếu \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax + by} \right)^2}\)thì \(ay - bx = 0.\)
\({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} \)
\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)
\(={x^2} - 2xy + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} \)
\(= - 4xy\) (đpcm).
Bài 2. Ta có:
\({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2} \)
\(= \left( {49{n^2} - 28n + 4} \right) - \left( {4{n^2} - 28n + 49} \right)\)
\( = 49{n^2} - 28n + 4 - 4{n^2} + 28n - 49 \)
\(= 45{n^2} - 45.\)
Vì \(45\; \vdots\; 9 \Rightarrow 45{n^2} \;\vdots \;9.\) Vậy \(45{n^2} - 45\) chia hết cho 9 (với mọi n thuộc \(\mathbb Z\))
).
Nhận xét: Số đã cho còn chia hết cho 45, với mọi n thuộc \(\mathbb Z\).
Bài 3. Ta có:
\(P = - {x^2} + 6x - 9 + 9 + 1 \)
\(\;\;\;\;= 10 - {\left( {x - 3} \right)^2} \le 10,\) vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) , với mọi x.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 10.
Dấu = xảy ra khi \(x – 3 = 0\) hay \(x = 3.\)
Bài 4. Ta có :
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\(\; = {\left( {ax + by} \right)^2}\)
Hay \({a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2} \)\(\;= {a^2}{x^2} + 2axby + {b^2}{y^2}\)
Hay \({a^2}{y^2} - 2axby + {b^2}{x^2} = 0\)
Hay \({\left( {ay - bx} \right)^2} = 0.\) Vậy : \(ay - bx = 0\) (đpcm).
Đề bài:
Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} = - 4xy.\)
Bài 2. Chứng minh rằng \({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2}\) luôn chia hết cho 9, với mọi giá trị nguyên của n.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = - {x^2} + 6x + 1.\)
Bài 4. Chứng minh rằng nếu \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax + by} \right)^2}\)thì \(ay - bx = 0.\)
Lời giải toán
Bài 1. Ta có:\({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} \)
\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)
\(={x^2} - 2xy + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} \)
\(= - 4xy\) (đpcm).
Bài 2. Ta có:
\({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2} \)
\(= \left( {49{n^2} - 28n + 4} \right) - \left( {4{n^2} - 28n + 49} \right)\)
\( = 49{n^2} - 28n + 4 - 4{n^2} + 28n - 49 \)
\(= 45{n^2} - 45.\)
Vì \(45\; \vdots\; 9 \Rightarrow 45{n^2} \;\vdots \;9.\) Vậy \(45{n^2} - 45\) chia hết cho 9 (với mọi n thuộc \(\mathbb Z\))
).
Nhận xét: Số đã cho còn chia hết cho 45, với mọi n thuộc \(\mathbb Z\).
Bài 3. Ta có:
\(P = - {x^2} + 6x - 9 + 9 + 1 \)
\(\;\;\;\;= 10 - {\left( {x - 3} \right)^2} \le 10,\) vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) , với mọi x.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 10.
Dấu = xảy ra khi \(x – 3 = 0\) hay \(x = 3.\)
Bài 4. Ta có :
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\(\; = {\left( {ax + by} \right)^2}\)
Hay \({a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2} \)\(\;= {a^2}{x^2} + 2axby + {b^2}{y^2}\)
Hay \({a^2}{y^2} - 2axby + {b^2}{x^2} = 0\)
Hay \({\left( {ay - bx} \right)^2} = 0.\) Vậy : \(ay - bx = 0\) (đpcm).