Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), ta có:
\(\frac{1}{{2\sqrt 2 + 1\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n }} < 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\).
Giải:
Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: với mọi số thực dương \(x,y\) ta có: \(x\sqrt y + y\sqrt x \le x\sqrt x + y\sqrt y \).
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
$x\sqrt y + y\sqrt x \le x\sqrt x + y\sqrt y \Leftrightarrow x\sqrt x + y\sqrt y - x\sqrt y - y\sqrt x \ge 0$
\( \Leftrightarrow x\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt y - \sqrt x } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right){\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} \ge 0\).
Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề ta có:
\(\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n > n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n \)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n }} < \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\)
Vì thế: \(\frac{1}{{2\sqrt 2 + 1\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n }} < \) \( < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\frac{{n + 1}}{{}}}}\).
Mà theo kết quả câu 25 thì:
\(\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\).
Vậy bài toán được chứng minh.
\(\frac{1}{{2\sqrt 2 + 1\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n }} < 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\).
Giải:
Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: với mọi số thực dương \(x,y\) ta có: \(x\sqrt y + y\sqrt x \le x\sqrt x + y\sqrt y \).
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
$x\sqrt y + y\sqrt x \le x\sqrt x + y\sqrt y \Leftrightarrow x\sqrt x + y\sqrt y - x\sqrt y - y\sqrt x \ge 0$
\( \Leftrightarrow x\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt y - \sqrt x } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right){\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} \ge 0\).
Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề ta có:
\(\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n > n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n \)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n }} < \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\)
Vì thế: \(\frac{1}{{2\sqrt 2 + 1\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} + n\sqrt n }} < \) \( < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\frac{{n + 1}}{{}}}}\).
Mà theo kết quả câu 25 thì:
\(\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\).
Vậy bài toán được chứng minh.