Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n > 3\), ta có
\(\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}\).
Giải:
Đặt \(P = \frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{n^3}}}\).
Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta có:
\(\frac{2}{{{k^3}}} < \frac{2}{{{k^3} - k}} = \frac{2}{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} - \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}},\forall k > 1\)
Cho \(k = 4,5,...,n\) thì \(2P < 2\left( {\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}} \right) + \left( {\frac{1}{{4.5}} - \frac{1}{{5.6}}} \right) + ... + \left[ {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]\)\( = \frac{{251}}{{108}} + \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \frac{{251}}{{108}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{{65}}{{27}}\).
Do đó \(P < \frac{{65}}{{64}}\) (đpcm).
\(\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}\).
Giải:
Đặt \(P = \frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{n^3}}}\).
Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta có:
\(\frac{2}{{{k^3}}} < \frac{2}{{{k^3} - k}} = \frac{2}{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} - \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}},\forall k > 1\)
Cho \(k = 4,5,...,n\) thì \(2P < 2\left( {\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}} \right) + \left( {\frac{1}{{4.5}} - \frac{1}{{5.6}}} \right) + ... + \left[ {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]\)\( = \frac{{251}}{{108}} + \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \frac{{251}}{{108}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{{65}}{{27}}\).
Do đó \(P < \frac{{65}}{{64}}\) (đpcm).