Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx + 1$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
b) Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là các giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)$.
(Trích đề TS lớp 10 Trường THPT chuyên ĐH sư phạm Hà Nội năm 2009)
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: ${x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0$ (1)
$\Delta = {m^2} + 4 > 0$ với mọi m nên (1) có hai nghiệm phân biệt,
suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$.
b) Theo định lý Viet, ta có: ${x_1} + {x_2} = m;{x_1}{x_2} = - 1$
$M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right) = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 1} \right) = x_1^2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 1 = - {m^2} \le 0$
Vậy $\max M = 0$ khi $m = 0$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
b) Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là các giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)$.
(Trích đề TS lớp 10 Trường THPT chuyên ĐH sư phạm Hà Nội năm 2009)
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: ${x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0$ (1)
$\Delta = {m^2} + 4 > 0$ với mọi m nên (1) có hai nghiệm phân biệt,
suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$.
b) Theo định lý Viet, ta có: ${x_1} + {x_2} = m;{x_1}{x_2} = - 1$
$M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right) = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 1} \right) = x_1^2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 1 = - {m^2} \le 0$
Vậy $\max M = 0$ khi $m = 0$.