Cho phương trình: ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2{m^4} + {m^2} = 0$ (m là tham số).
a) Giải phương trình khi $m = 1$.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Giải
a) Khi $m = 1$ phương trình thành: ${x^2} + 4x - 1 = 0$ có $\Delta ' = {2^2} + 1 = 5 > 0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = - 2 - \sqrt 5 ;{x_2} = - 2 + \sqrt 5 $
b) Ta có: $\Delta ' = 2{m^4} + 2m + 1 = 2{m^4} - 2{m^2} + \frac{1}{2} + 2{m^2} + 2m + \frac{1}{2}$
$ = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$, $\forall m$.
Nếu $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - \frac{1}{2} = 0\\m + \frac{1}{2} = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).
Do đó $\Delta ' > 0,\forall m$.
Vậy phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
a) Giải phương trình khi $m = 1$.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Giải
a) Khi $m = 1$ phương trình thành: ${x^2} + 4x - 1 = 0$ có $\Delta ' = {2^2} + 1 = 5 > 0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = - 2 - \sqrt 5 ;{x_2} = - 2 + \sqrt 5 $
b) Ta có: $\Delta ' = 2{m^4} + 2m + 1 = 2{m^4} - 2{m^2} + \frac{1}{2} + 2{m^2} + 2m + \frac{1}{2}$
$ = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$, $\forall m$.
Nếu $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - \frac{1}{2} = 0\\m + \frac{1}{2} = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).
Do đó $\Delta ' > 0,\forall m$.
Vậy phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.