Cho lăng trụ $ABC{A}'{B}'{C}’$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A\,$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$ và hình chiếu vuông g

Cho lăng trụ $ABC{A}'{B}'{C}’$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A\,$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}’$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $A{A}’$, ${B}'{C}’$.

Phương pháp 1:
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, $\varphi $ là góc giữa $A{A}’$ và ${B}'{C}’$.
Ta có $A{A}’//B{B}’$ và ${B}'{C}’//BC$ nên góc giữa $\left( \widehat{A{A}’,{B}'{C}’} \right)=\left( \widehat{B{B}’,BC} \right)$ .
Ta tính góc $\widehat{\,{B}’BH}$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên ta có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$.
$AH=\dfrac{1}{2}BC=a\Rightarrow {A}’H=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Vì $AH\bot \left( {A}'{B}'{C}’ \right)$ nên $\Delta {A}'{B}’H$ vuông tại ${A}’$
${B}’H=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+{A}'{{{{B}’}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$.
$\cos \widehat{{B}’BH}=\dfrac{{B}'{{B}^{2}}+B{{H}^{2}}-{B}'{{H}^{2}}}{2{B}’B.BH}$
$=\dfrac{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}{2.2a.a}=\dfrac{1}{4}$ Chọn A
Phương pháp 2:
Ta có
$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{B}'{C}’} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{B}'{C}’} \right|}{\left| \overrightarrow{A{A}’} \right|.\left| \overrightarrow{{B}'{C}’} \right|}=\dfrac{\left| \left( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{H{A}’} \right).\overrightarrow{BC} \right|}{2a.2a}=\dfrac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{H{A}’}.\overrightarrow{BC} \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} \right|}{4{{a}^{2}}}$
$=\dfrac{\left| \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right) \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{\left| \dfrac{1}{2}\left( A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right) \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{\left| \dfrac{1}{2}\left( 3{{a}^{2}}-{{a}^{2}} \right) \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4}$.